自然数 $n$ と $540$ の最小公倍数が $2700$ であるような自然数 $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ と $540$ の最小公倍数が $2700$ であるような自然数 $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$540$ と $2700$ を素因数分解する。

$540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$

$2700 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$

$n$ を素因数分解したものを $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とおく。$n$ と $540$ の最小公倍数が $2700$ であることから、

$\text{lcm}(n, 540) = \text{lcm}(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c, 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5) = 2^{\max(a, 2)} \cdot 3^{\max(b, 3)} \cdot 5^{\max(c, 1)} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$

したがって、

$\max(a, 2) = 2$

$\max(b, 3) = 3$

$\max(c, 1) = 2$

これらの条件を満たす $a, b, c$ を考える。

$\max(a, 2) = 2$ より、$a \leq 2$ なので、$a$ は $0, 1, 2$ のいずれか。

$\max(b, 3) = 3$ より、$b \leq 3$ なので、$b$ は $0, 1, 2, 3$ のいずれか。

$\max(c, 1) = 2$ より、$c = 2$。

$a$ は $0, 1, 2$ の $3$ 通り、$b$ は $0, 1, 2, 3$ の $4$ 通り、$c$ は $2$ の $1$ 通り。

したがって、$n$ の個数は $3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$ 個である。

3. 最終的な答え

12個