質量 $m$ の小球が、初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射される。空気抵抗 $kmv$ が働くとき、運動方程式、速度、位置、軌跡、最高到達点などを求める問題です。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球が、初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射される。空気抵抗 $kmv$ が働くとき、運動方程式、速度、位置、軌跡、最高到達点などを求める問題です。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式は、

$m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{g} - k m \vec{v}$

(b) 成分に分解すると、

$m \frac{dv_x}{dt} = - km v_x$

$m \frac{dv_y}{dt} = -mg - km v_y$

これらを解くと、

$v_x(t) = v_0 \cos \theta e^{-kt}$

$v_y(t) = (v_0 \sin \theta + \frac{g}{k})e^{-kt} - \frac{g}{k}$

終端速度は、

$v_x(\infty) = 0$

$v_y(\infty) = -\frac{g}{k}$

(c) 位置は、

$x(t) = \int v_x(t) dt = \frac{v_0 \cos \theta}{k} (1 - e^{-kt})$

$y(t) = \int v_y(t) dt = \frac{1}{k}(v_0 \sin \theta + \frac{g}{k})(1 - e^{-kt}) - \frac{g}{k}t$

$t \to \infty$ での漸近線は、$x \to \frac{v_0 \cos \theta}{k}$ のとき $y \to -\infty$ となる。

(d) マクローリン展開は、

$e^{-kt} \approx 1 - kt + \frac{(kt)^2}{2} - \dots$

などを用いて、近似的に計算する。

(e) $y = x \tan \theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 (1 + \frac{k}{3v_0 \cos \theta} x + \dots)$

(f) $\Delta x = \frac{k v_0^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{g^2}$, $\Delta h = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} (1 - \frac{2k}{3g}v_0 \sin \theta)$.

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{g} - k m \vec{v}$

(b) $v_x(t) = v_0 \cos \theta e^{-kt}$, $v_y(t) = (v_0 \sin \theta + \frac{g}{k})e^{-kt} - \frac{g}{k}$, $v_x(\infty) = 0$, $v_y(\infty) = -\frac{g}{k}$

(c) $x(t) = \frac{v_0 \cos \theta}{k} (1 - e^{-kt})$, $y(t) = \frac{1}{k}(v_0 \sin \theta + \frac{g}{k})(1 - e^{-kt}) - \frac{g}{k}t$

(d) 省略

(e) $y = x \tan \theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 (1 + \frac{k}{3v_0 \cos \theta} x + \dots)$

(f) $\Delta x = \frac{k v_0^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{g^2}$, $\Delta h = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} (1 - \frac{2k}{3g}v_0 \sin \theta)$.