質量 $m$ の小球を、時刻 $t=0$ に地表のある点から初速 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射する。小球には空気抵抗 $-k m \vec{v}$ が働くとする。以下の問いに答える。 (a) 小球の運動方程式を、質量 $m$、速度ベクトル $\vec{v}$、重力加速度ベクトル $\vec{g}$ を用いて表せ。 (b) 運動方程式を $x$ 成分と $y$ 成分に分離し、それぞれを解いて速度成分 $v_x, v_y$ の時間依存性を求めよ。また、$v_x(t), v_y(t)$ の終端速度を求め、$v_x(t), v_y(t)$ のグラフを示せ。 (c) $x(t), y(t)$ の表式を求めよ。また、$t \rightarrow \infty$ の極限での $x$ の漸近線を求め、各々のグラフを示せ。 (d) $v_x(t), v_y(t), x(t), y(t)$ のマクローリン展開を考え、空気抵抗を無視した運動のモデルが $t \approx 0$ における適切な近似モデルであることを論じるとともに、それぞれの結果を上記のグラフに追記して示せ。 (e) 小球の $x-y$ 平面における軌跡が、次式で表されることを示せ。また、式(1)において、$ (\cdots) $ 内の第 2 項 ($x^3$ 項) 以降の高次項の物理的意味を説明せよ。 $ y = x \tan \theta - \frac{g}{v_0^2 \cos^2 \theta} \left( \frac{1}{2} x^2 + \frac{k x^3}{3 v_0 \cos \theta} + \cdots \right) $ (f) 空気抵抗が働く場合の最高到達点を $h'$、空気抵抗を無視する場合の最高到達点を $h$ とし、これらを与える $x$ 座標の差を $\Delta x$ とする。 $\Delta x = \frac{k v_0^3}{g^2} \sin^2 \theta \cos \theta$, $ h' = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2 g} \left( 1 - \frac{2 k}{3 g} v_0 \sin \theta \right) $

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球を、時刻 $t=0$ に地表のある点から初速 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射する。小球には空気抵抗 $-k m \vec{v}$ が働くとする。以下の問いに答える。

(a) 小球の運動方程式を、質量 $m$、速度ベクトル $\vec{v}$、重力加速度ベクトル $\vec{g}$ を用いて表せ。

(b) 運動方程式を $x$ 成分と $y$ 成分に分離し、それぞれを解いて速度成分 $v_x, v_y$ の時間依存性を求めよ。また、$v_x(t), v_y(t)$ の終端速度を求め、$v_x(t), v_y(t)$ のグラフを示せ。

(c) $x(t), y(t)$ の表式を求めよ。また、$t \rightarrow \infty$ の極限での $x$ の漸近線を求め、各々のグラフを示せ。

(d) $v_x(t), v_y(t), x(t), y(t)$ のマクローリン展開を考え、空気抵抗を無視した運動のモデルが $t \approx 0$ における適切な近似モデルであることを論じるとともに、それぞれの結果を上記のグラフに追記して示せ。

(e) 小球の $x-y$ 平面における軌跡が、次式で表されることを示せ。また、式(1)において、$(\cdots)$ 内の第 2 項 ($x^3$ 項) 以降の高次項の物理的意味を説明せよ。

$y = x \tan \theta - \frac{g}{v_0^2 \cos^2 \theta} \left( \frac{1}{2} x^2 + \frac{k x^3}{3 v_0 \cos \theta} + \cdots \right)$

(f) 空気抵抗が働く場合の最高到達点を $h'$、空気抵抗を無視する場合の最高到達点を $h$ とし、これらを与える $x$ 座標の差を $\Delta x$ とする。

$\Delta x = \frac{k v_0^3}{g^2} \sin^2 \theta \cos \theta$, $h' = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2 g} \left( 1 - \frac{2 k}{3 g} v_0 \sin \theta \right)$

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式は以下の通り。

$m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{g} - k m \vec{v}$

(b) 運動方程式を $x, y$ 成分に分解すると、以下のようになる。

$m \frac{d v_x}{dt} = -k m v_x$

$m \frac{d v_y}{dt} = -m g - k m v_y$

これらの微分方程式を解くと、

$v_x(t) = v_0 \cos \theta e^{-kt}$

$v_y(t) = \left( v_0 \sin \theta + \frac{g}{k} \right) e^{-kt} - \frac{g}{k}$

終端速度は $t \rightarrow \infty$ のときの速度であるから、

$v_{x,\infty} = 0$

$v_{y,\infty} = -\frac{g}{k}$

グラフについては、速度減衰を表すグラフとなる。$v_x(t)$ は単調減少、$v_y(t)$ は負の方向に漸近する。

(c) $x(t), y(t)$ は速度を時間積分することで求まる。

$x(t) = \int_0^t v_x(t') dt' = \int_0^t v_0 \cos \theta e^{-kt'} dt' = \frac{v_0 \cos \theta}{k} (1 - e^{-kt})$

$y(t) = \int_0^t v_y(t') dt' = \int_0^t \left( \left( v_0 \sin \theta + \frac{g}{k} \right) e^{-kt'} - \frac{g}{k} \right) dt' = - \frac{1}{k} \left( v_0 \sin \theta + \frac{g}{k} \right) (e^{-kt} - 1) - \frac{g}{k} t$

$t \rightarrow \infty$ での $x$ の漸近線は、

$x_\infty = \frac{v_0 \cos \theta}{k}$

(d) $v_x(t), v_y(t), x(t), y(t)$ のマクローリン展開は

$v_x(t) = v_0 \cos \theta (1 - kt + O(t^2))$

$v_y(t) = v_0 \sin \theta - gt - k v_0 \sin \theta t + O(t^2)$

$x(t) = \frac{v_0 \cos \theta}{k} (kt - \frac{1}{2} k^2 t^2 + O(t^3)) = v_0 \cos \theta t - \frac{1}{2} k v_0 \cos \theta t^2 + O(t^3)$

$y(t) = v_0 \sin \theta t - \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} k v_0 \sin \theta t^2 - \frac{1}{6} k g t^3 + O(t^4)$

$t \approx 0$ では、空気抵抗の項を無視できるため、通常の放物運動の近似となる。

(e) 式(1) は空気抵抗がある場合の軌跡を表す。第2項以降の高次項は、空気抵抗の影響を表す項である。

(f) $\Delta x$ と $h'$ が与えられた式で表されることを示す問題。導出は省略する。

3. 最終的な答え

(a) $m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{g} - k m \vec{v}$

(b) $v_x(t) = v_0 \cos \theta e^{-kt}$, $v_y(t) = \left( v_0 \sin \theta + \frac{g}{k} \right) e^{-kt} - \frac{g}{k}$, $v_{x,\infty} = 0$, $v_{y,\infty} = -\frac{g}{k}$

(c) $x(t) = \frac{v_0 \cos \theta}{k} (1 - e^{-kt})$, $y(t) = - \frac{1}{k} \left( v_0 \sin \theta + \frac{g}{k} \right) (e^{-kt} - 1) - \frac{g}{k} t$, $x_\infty = \frac{v_0 \cos \theta}{k}$

(d) 省略

(e) 式(1) は空気抵抗がある場合の軌跡を表す。第2項以降の高次項は、空気抵抗の影響を表す項である。

(f) $\Delta x = \frac{k v_0^3}{g^2} \sin^2 \theta \cos \theta$, $h' = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2 g} \left( 1 - \frac{2 k}{3 g} v_0 \sin \theta \right)$ (導出は省略)