質量 $m$ の小球が、ばね定数 $k$ のばねで点Pから吊り下げられ、水平面上で点Oを中心として等速円運動をしている。OPの長さは $L$ 、ばねとOPのなす角は $\theta$ 、重力加速度は $g$ である。 (1) ばねの弾性力 $F$ を $k, L, \theta$ で表せ。 (2) 鉛直方向の力のつり合いから、$F\cos\theta$ を求めよ。また、水平方向の運動方程式を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球が、ばね定数 $k$ のばねで点Pから吊り下げられ、水平面上で点Oを中心として等速円運動をしている。OPの長さは $L$ 、ばねとOPのなす角は $\theta$ 、重力加速度は $g$ である。

(1) ばねの弾性力 $F$ を $k, L, \theta$ で表せ。

(2) 鉛直方向の力のつり合いから、$F\cos\theta$ を求めよ。また、水平方向の運動方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ばねの伸びを $\Delta L$ とすると、ばねの弾性力は $F = k\Delta L$ で表される。図より、ばねの長さは $\frac{L}{\cos\theta}$ であるから、伸びは $\Delta L = \frac{L}{\cos\theta} - L$ となる。したがって、$F = k\left(\frac{L}{\cos\theta} - L\right)$。

(2) 鉛直方向には、重力 $mg$、垂直抗力 $N$、ばねの弾性力の鉛直成分 $F\cos\theta$ が働いている。力のつり合いより、

$$N + F\cos\theta = mg$$

したがって、$F\cos\theta = mg - N$。

水平方向には、ばねの弾性力の水平成分 $F\sin\theta$ が向心力として働いている。円運動の半径は $L\tan\theta$ であるから、運動方程式は

$$m a = F\sin\theta$$

ここで、$a$ は向心加速度なので、$a=\frac{v^2}{L\tan\theta}$。したがって、$m\frac{v^2}{L\tan\theta} = F\sin\theta$。

3. 最終的な答え

(1) $F = k\left(\frac{L}{\cos\theta} - L\right)$

(2) ア: $mg - N$

イ: $m\frac{v^2}{L\tan\theta}$ (または $ma$ )