振動数 $f_0$ [Hz] のサイレンを乗せた自動車が、点Oを中心とする半径 $r$ [m] の円周上を一定の速さ $v$ [m/s] で左回りに走っています。円の外側の点Pに人が立ち、音速を $V$ [m/s] とします。 (1) 円周上で、最大振動数 $f_H$ [Hz] の音が発せられた点をA、振動数 $f_0$ [Hz] の音が発せられた点をB、最小振動数 $f_L$ [Hz] の音が発せられた点をCとします。 (2) $v$ と $f_0$ を、$f_H$, $f_L$, $V$ を用いてそれぞれ表します。 (3) $f_H = 525$ [Hz], $f_L = 495$ [Hz], $V = 340$ [m/s] であるとき、$f_H$ [Hz] の音を聞く周期が $9.42$ [s] であった。$v$ と $r$ を求めます。 (4) (3)において、距離OPが $2r$ [m] に等しいとき、 (ア) $f_H$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。 (イ) $f_0$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞き、再び $f_0$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

1. 問題の内容

振動数 $f_0$ [Hz] のサイレンを乗せた自動車が、点Oを中心とする半径 $r$ [m] の円周上を一定の速さ $v$ [m/s] で左回りに走っています。円の外側の点Pに人が立ち、音速を $V$ [m/s] とします。

(1) 円周上で、最大振動数 $f_H$ [Hz] の音が発せられた点をA、振動数 $f_0$ [Hz] の音が発せられた点をB、最小振動数 $f_L$ [Hz] の音が発せられた点をCとします。

(2) $v$ と $f_0$ を、$f_H$, $f_L$, $V$ を用いてそれぞれ表します。

(3) $f_H = 525$ [Hz], $f_L = 495$ [Hz], $V = 340$ [m/s] であるとき、$f_H$ [Hz] の音を聞く周期が $9.42$ [s] であった。$v$ と $r$ を求めます。

(4) (3)において、距離OPが $2r$ [m] に等しいとき、

(ア) $f_H$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

(イ) $f_0$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞き、再び $f_0$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

2. 解き方の手順

(1) 最大振動数は、自動車が観測者に近づくときに聞こえ、最小振動数は遠ざかるときに聞こえます。したがって、AはPに最も近づく点、CはPから最も遠ざかる点、BはAとCの中間の点になります。円周上なので、AはPに最も近づく点、CはPから最も遠ざかる点、BはOからPに向かう点になります。

(2) ドップラー効果の式より、$f_H = \frac{V}{V-v} f_0$ と $f_L = \frac{V}{V+v} f_0$ が成り立ちます。

これらの式から $v$ と $f_0$ を求めます。

$f_H(V-v) = V f_0$

$f_L(V+v) = V f_0$

$f_H(V-v) = f_L(V+v)$

$f_H V - f_H v = f_L V + f_L v$

$f_H V - f_L V = f_L v + f_H v$

$V(f_H - f_L) = v(f_H + f_L)$

$v = \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V$

$f_H V - f_H v = V f_0$

$f_0 = f_H - \frac{f_H v}{V}$

$f_0 = f_H - \frac{f_H}{V} \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V$

$f_0 = f_H - f_H \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} = f_H(1 - \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L}) = f_H \frac{f_H + f_L - (f_H - f_L)}{f_H + f_L} = f_H \frac{2f_L}{f_H + f_L}$

$f_0 = \frac{2 f_H f_L}{f_H + f_L}$

(3) 周期 $T = 9.42$ [s] で $f_H$ の音を聞いたので、円周の長さを $L$ とすると、$L = 2 \pi r$ であり、$v = L/T = 2 \pi r / T$ となります。

(2)で求めた $v$ を代入すると、$\frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V = \frac{2 \pi r}{T}$ となります。

$r = \frac{T V}{2\pi} \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L}$

$v = \frac{525 - 495}{525 + 495} 340 = \frac{30}{1020} 340 = \frac{1}{34} 340 = 10$ [m/s]

$r = \frac{9.42 \times 340}{2 \times 3.14} \times \frac{30}{1020} = \frac{9.42 \times 340}{6.28} \times \frac{1}{34} = \frac{3202.8}{6.28} \times \frac{1}{34} = 510 \times \frac{1}{34} = 15$ [m]

(4) OP=2r のとき、円周上にあり、A,CはPを中心とした直径上にあります。BはOPの延長線上にあります。円の中心角を考えると、

(ア) $f_H$ から $f_L$ までにかかる時間は、半周分なので、$T/2 = 9.42/2 = 4.71$ [s]

(イ) $f_0$ から $f_L$ までにかかる時間は、半周分なので、$T/2 = 4.71$ [s]。$f_L$ から $f_0$ までも同様に、$T/2 = 4.71$ [s]。合計 $4.71+4.71=9.42$ [s]

3. 最終的な答え

(1) AはPに最も近づく点、BはOからPに向かう点、CはPから最も遠ざかる点。

(2) $v = \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V$, $f_0 = \frac{2 f_H f_L}{f_H + f_L}$

(3) $v = 10$ [m/s], $r = 15$ [m]

(4) (ア) $4.71$ [s] (イ) $9.42$ [s]