自動車に振動数 $f_0$ [Hz] のサイレンを乗せ、半径 $r$ [m] の円周上を一定の速さ $v$ [m/s] で左回りに走らせる。円の外側の点 P に人が立ち、音速を $V$ [m/s] とする。 (1) 円周上で最大振動数 $f_H$ [Hz] の音が発せられた点を A、振動数 $f_0$ [Hz] の音が発せられた点を B、最小振動数 $f_L$ [Hz] の音が発せられた点を C として図に記入する。 (2) $v$ と $f_0$ を、$f_H$, $f_L$, $V$ を用いて表す。 (3) $f_H = 525$ [Hz], $f_L = 495$ [Hz], $V = 340$ [m/s] であるとき、525 [Hz] の音を聞く周期が 9.42 [s] であった。$v$ と $r$ はいくらか。 (4) (3) において、距離 OP が $2r$ [m] に等しいとき、 (ア) $f_H$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。 (イ) $f_0$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞き、再び $f_0$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

1. 問題の内容

自動車に振動数 $f_0$ [Hz] のサイレンを乗せ、半径 $r$ [m] の円周上を一定の速さ $v$ [m/s] で左回りに走らせる。円の外側の点 P に人が立ち、音速を $V$ [m/s] とする。

(1) 円周上で最大振動数 $f_H$ [Hz] の音が発せられた点を A、振動数 $f_0$ [Hz] の音が発せられた点を B、最小振動数 $f_L$ [Hz] の音が発せられた点を C として図に記入する。

(2) $v$ と $f_0$ を、$f_H$, $f_L$, $V$ を用いて表す。

(3) $f_H = 525$ [Hz], $f_L = 495$ [Hz], $V = 340$ [m/s] であるとき、525 [Hz] の音を聞く周期が 9.42 [s] であった。$v$ と $r$ はいくらか。

(4) (3) において、距離 OP が $2r$ [m] に等しいとき、

(ア) $f_H$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

(イ) $f_0$ [Hz] の音を聞いて、次に $f_L$ [Hz] の音を聞き、再び $f_0$ [Hz] の音を聞くまでには、どれだけの時間がかかるか。

2. 解き方の手順

(1)

ドップラー効果により、音源が観測者に近づくときに振動数は高くなり、遠ざかるときに振動数は低くなる。

- 最大振動数 $f_H$ は、自動車が点 P に最も近づく点 A で発せられる。点 A は、点 O から点 P に向かう直線と円の交点である。

- 振動数 $f_0$ は、自動車が点 P に向かう方向にも、遠ざかる方向にも速度成分を持たない点 B で発せられる。点 B は、点 O から点 P に向かう直線に垂直な線と円の交点である。

- 最小振動数 $f_L$ は、自動車が点 P から最も遠ざかる点 C で発せられる。点 C は、点 A と対極の位置にある。

(2)

ドップラー効果の式より、

$f_H = \frac{V}{V - v} f_0$

$f_L = \frac{V}{V + v} f_0$

これらの式から、$v$ と $f_0$ を求める。

$f_H (V - v) = V f_0$

$f_L (V + v) = V f_0$

したがって、

$f_H (V - v) = f_L (V + v)$

$f_H V - f_H v = f_L V + f_L v$

$V (f_H - f_L) = v (f_H + f_L)$

$v = \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V$

また、$f_0 = \frac{f_H (V - v)}{V}$ に上記の $v$ の式を代入する。

$f_0 = f_H (1 - \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L}) = f_H \frac{f_H + f_L - (f_H - f_L)}{f_H + f_L} = f_H \frac{2f_L}{f_H + f_L} = \frac{2 f_H f_L}{f_H + f_L}$

$f_0 = \frac{2 f_H f_L}{f_H + f_L}$

(3)

$v = \frac{525 - 495}{525 + 495} \times 340 = \frac{30}{1020} \times 340 = \frac{1}{34} \times 340 = 10$ [m/s]

周期 $T = 9.42$ [s] は、サイレンが $f_H$ の音を発してから次に $f_H$ の音を発するまでの時間であるから、円周を一周する時間である。

$2 \pi r = v T$

$r = \frac{v T}{2 \pi} = \frac{10 \times 9.42}{2 \times 3.14} = \frac{94.2}{6.28} = 15$ [m]

(4)

距離 OP が $2r$ [m] なので、$OP = 30$ [m]。

(ア) 点 A から点 C まで移動する時間は半周期である。

半周期 = $\frac{9.42}{2} = 4.71$ [s]

(イ) 点 B から点 C まで移動する時間は、四分の一周期である。点 C から再び点 B まで移動する時間も四分の一周期である。点 B から再び点 A まで移動する時間は、四分の一周期である。合計すると四分の三周期なので、

$\frac{3}{4} \times 9.42 = 7.065$ [s]

3. 最終的な答え

(1) A, B, C は上記の通り。

(2) $v = \frac{f_H - f_L}{f_H + f_L} V$, $f_0 = \frac{2 f_H f_L}{f_H + f_L}$

(3) $v = 10$ [m/s], $r = 15$ [m]

(4) (ア) 4.71 [s], (イ) 7.065 [s]