ある温泉の浴槽に給湯口A、Bと排水口がある。給湯口Aだけで満水にするのに30分、給湯口Bだけで満水にするのに60分かかる。給湯口AとBを同時に使うと15分で満水になる。満水の状態で給湯口を閉じたとき、浴槽が空になるまでの時間を求める。排水口は常に開いている。

1. 問題の内容

ある温泉の浴槽に給湯口A、Bと排水口がある。給湯口Aだけで満水にするのに30分、給湯口Bだけで満水にするのに60分かかる。給湯口AとBを同時に使うと15分で満水になる。満水の状態で給湯口を閉じたとき、浴槽が空になるまでの時間を求める。排水口は常に開いている。

2. 解き方の手順

まず、浴槽の容量を1とする。

* 給湯口Aから1分間に出る湯量をaとする。

* 給湯口Bから1分間に出る湯量をbとする。

* 排水口から1分間に排出される湯量をcとする。

給湯口Aだけで満水にするのに30分かかるので、$30a = 1$ より、$a = \frac{1}{30}$。

給湯口Bだけで満水にするのに60分かかるので、$60b = 1$ より、$b = \frac{1}{60}$。

給湯口A、Bを同時に使うと15分で満水になるので、$15(a + b - c) = 1$。

$15(\frac{1}{30} + \frac{1}{60} - c) = 1$

$\frac{1}{30} + \frac{1}{60} - c = \frac{1}{15}$

$\frac{2}{60} + \frac{1}{60} - c = \frac{4}{60}$

$\frac{3}{60} - c = \frac{4}{60}$

$c = \frac{3}{60} - \frac{4}{60} = -\frac{1}{60}$

排水口から排出される湯量が負になった。

問題文より給湯口Aだけで満水にするのに30分、給湯口Bだけで満水にするのに60分かかる。給湯口AとBを同時に使うと15分で満水になる。これは矛盾している。

$15(\frac{1}{30} + \frac{1}{60}) = 15(\frac{2}{60} + \frac{1}{60}) = 15(\frac{3}{60}) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} < 1$。

よって、排水口から排出される湯量は0より大きいことがわかる。

給湯口A、Bを同時に使うと15分で満水になるので、$15(a + b - c) = 1$より、$a+b-c=\frac{1}{15}$。

$c=a+b-\frac{1}{15}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}-\frac{1}{15}=\frac{2}{60}+\frac{1}{60}-\frac{4}{60}=-\frac{1}{60}$

正しくは給湯口Aだけで満水にするのに30分かかるので、$30(a-c) = 1$

給湯口Bだけで満水にするのに60分かかるので、$60(b-c) = 1$

給湯口A、Bを同時に使うと15分で満水になるので、$15(a+b-c) = 1$

$a-c = \frac{1}{30}$, $b-c = \frac{1}{60}$, $a+b-c = \frac{1}{15}$

$a = c + \frac{1}{30}$, $b = c + \frac{1}{60}$

$c + \frac{1}{30} + c + \frac{1}{60} - c = \frac{1}{15}$

$c + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{15}$

$c + \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{4}{60}$

$c = \frac{1}{60}$

満水の状態から空になるまでの時間をtとすると、$t \times c = 1$

$t \times \frac{1}{60} = 1$

$t = 60$

3. 最終的な答え

60分