質量 $m$ の小球が、時刻 $t=0$ に地表のある点から初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射される。小球には粘性抵抗 $-km\vec{v}$ が働く。 (a) 小球の運動方程式を求めよ。 (b) 運動方程式を $x$ 成分、$y$ 成分に分解し、速度成分 $v_x(t)$、$v_y(t)$ の時間依存性を求めよ。また、終端速度と $v_x(t)$、$v_y(t)$ のグラフを示せ。 (c) $x(t)$、$y(t)$ の表式を求めよ。また、$t \to \infty$ での $x$ の漸近線を求め、各々のグラフを示せ。 (d) $v_x(t)$、$v_y(t)$、$x(t)$、$y(t)$ のマクローリン展開を考え、空気抵抗を無視した運動のモデルが $t \sim 0$ での適切な近似であることを論じ、グラフに追記せよ。 (e) 小球の $x-y$ 平面における軌跡が与えられた式(1)で表されることを示し、式(1)の括弧内の第2項以降の物理的意味を説明せよ。 (f) 空気抵抗がある場合とない場合の最高到達点の $x$ 座標の差 $\Delta x$ と、空気抵抗がある場合の最高到達点 $h'$ が与えられた式(2)で表されることを示せ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小球が、時刻 $t=0$ に地表のある点から初速度 $v_0$、角度 $\theta$ で斜方投射される。小球には粘性抵抗 $-km\vec{v}$ が働く。

(a) 小球の運動方程式を求めよ。

(b) 運動方程式を $x$ 成分、$y$ 成分に分解し、速度成分 $v_x(t)$、$v_y(t)$ の時間依存性を求めよ。また、終端速度と $v_x(t)$、$v_y(t)$ のグラフを示せ。

(c) $x(t)$、$y(t)$ の表式を求めよ。また、$t \to \infty$ での $x$ の漸近線を求め、各々のグラフを示せ。

(d) $v_x(t)$、$v_y(t)$、$x(t)$、$y(t)$ のマクローリン展開を考え、空気抵抗を無視した運動のモデルが $t \sim 0$ での適切な近似であることを論じ、グラフに追記せよ。

(e) 小球の $x-y$ 平面における軌跡が与えられた式(1)で表されることを示し、式(1)の括弧内の第2項以降の物理的意味を説明せよ。

(f) 空気抵抗がある場合とない場合の最高到達点の $x$ 座標の差 $\Delta x$ と、空気抵抗がある場合の最高到達点 $h'$ が与えられた式(2)で表されることを示せ。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式

小球に働く力は重力 $m\vec{g}$ と粘性抵抗 $-km\vec{v}$ である。運動方程式は、

$m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{g} - km\vec{v}$

(b) 運動方程式の成分分解と解

$x$ 成分:

$m\frac{dv_x}{dt} = -kmv_x$

$\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{k}{m}dt$

$\int_{v_{0x}}^{v_x} \frac{dv_x}{v_x} = \int_{0}^{t} -\frac{k}{m}dt$

$\ln(\frac{v_x}{v_{0x}}) = -\frac{k}{m}t$

$v_x(t) = v_{0x}e^{-\frac{k}{m}t} = v_0\cos{\theta}e^{-\frac{k}{m}t}$

$y$ 成分:

$m\frac{dv_y}{dt} = -mg - kmv_y$

$\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{k}{m}v_y$

$\frac{dv_y}{g + \frac{k}{m}v_y} = -dt$

$\int_{v_{0y}}^{v_y} \frac{dv_y}{g + \frac{k}{m}v_y} = \int_{0}^{t} -dt$

$\frac{m}{k} \ln(\frac{g + \frac{k}{m}v_y}{g + \frac{k}{m}v_{0y}}) = -t$

$g + \frac{k}{m}v_y = (g + \frac{k}{m}v_{0y})e^{-\frac{k}{m}t}$

$v_y(t) = -\frac{mg}{k} + (v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}$

終端速度

$t \to \infty$ で、$v_x(t) \to 0$、$v_y(t) \to -\frac{mg}{k}$

(c) 位置の表式

$x(t) = \int v_x(t) dt = \int v_0\cos{\theta}e^{-\frac{k}{m}t} dt = -\frac{m}{k}v_0\cos{\theta}e^{-\frac{k}{m}t} + C$

$x(0) = 0$ より、$C = \frac{m}{k}v_0\cos{\theta}$

$x(t) = \frac{m}{k}v_0\cos{\theta}(1 - e^{-\frac{k}{m}t})$

$y(t) = \int v_y(t) dt = \int (-\frac{mg}{k} + (v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}) dt = -\frac{mg}{k}t - \frac{m}{k}(v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t} + D$

$y(0) = 0$ より、$D = \frac{m}{k}(v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})$

$y(t) = -\frac{mg}{k}t + \frac{m}{k}(v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})(1 - e^{-\frac{k}{m}t})$

$t \to \infty$ で、$x(t) \to \frac{m}{k}v_0\cos{\theta}$ (漸近線)

3. 最終的な答え

(a) $m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{g} - km\vec{v}$

(b) $v_x(t) = v_0\cos{\theta}e^{-\frac{k}{m}t}$

$v_y(t) = -\frac{mg}{k} + (v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})e^{-\frac{k}{m}t}$

終端速度: $v_x(\infty) = 0$, $v_y(\infty) = -\frac{mg}{k}$

(c) $x(t) = \frac{m}{k}v_0\cos{\theta}(1 - e^{-\frac{k}{m}t})$

$y(t) = -\frac{mg}{k}t + \frac{m}{k}(v_0\sin{\theta} + \frac{mg}{k})(1 - e^{-\frac{k}{m}t})$

$t \to \infty$ での漸近線: $x = \frac{m}{k}v_0\cos{\theta}$