51から100までの自然数のうち、以下の条件を満たす数はそれぞれ何個あるかを求める問題です。 (1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数 (2) 3で割り切れるが5では割り切れない数 (3) 3でも5でも割り切れない数

1. 問題の内容

51から100までの自然数のうち、以下の条件を満たす数はそれぞれ何個あるかを求める問題です。

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数

(3) 3でも5でも割り切れない数

2. 解き方の手順

まず、全体集合Uを51から100までの自然数全体とし、3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとします。

$n(U)$ (Uの要素の個数) = 100 - 51 + 1 = 50

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数

これは集合の記号で表すと $n(A \cup B)$を求める問題です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A)$: 51から100までの3の倍数の個数

51 ÷ 3 = 17, 100 ÷ 3 = 33.33... なので、3の倍数は17番目から33番目まで。

$n(A) = 33 - 17 + 1 = 17$

$n(B)$: 51から100までの5の倍数の個数

51 ÷ 5 = 10.2, 100 ÷ 5 = 20 なので、5の倍数は11番目から20番目まで。

$n(B) = 20 - 11 + 1 = 10$

$n(A \cap B)$: 3と5の公倍数、つまり15の倍数の個数

51 ÷ 15 = 3.4, 100 ÷ 15 = 6.66... なので、15の倍数は4番目から6番目まで。

$n(A \cap B) = 6 - 4 + 1 = 3$

よって、$n(A \cup B) = 17 + 10 - 3 = 24$

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数

これは集合の記号で表すと $n(A) - n(A \cap B)$を求める問題です。

$n(A) - n(A \cap B) = 17 - 3 = 14$

(3) 3でも5でも割り切れない数

これは集合の記号で表すと $n(U) - n(A \cup B)$を求める問題です。

$n(U) - n(A \cup B) = 50 - 24 = 26$

3. 最終的な答え

(1) 24個

(2) 14個

(3) 26個