与えられた式 $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 2xy - 3x - 4y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、いくつかの方法を試すことができます。今回は、式を整理して共通因数を見つけ出す方法を試みます。

まず、式を次のようにグループ化します。

$(2x^2 + 2xy - 4y) + (-3x - 2)$

しかし、これではうまく因数分解できません。別の方法を試します。

与えられた式を$x$について整理します。

$2x^2 + (2y - 3)x - (4y + 2)$

ここで、二次方程式の因数分解の形を考えて、

$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$

となるように係数を比較します。

$ac = 2$、 $ad + bc = 2y - 3$、 $bd = -(4y + 2)$

$bd = -2(2y + 1)$ なので、 $b$と$d$は$2y+1$の約数である可能性があります。

また、$ac = 2$ なので、$a$と$c$は1と2の組み合わせである可能性があります。

$a=2$、$c=1$の場合を試してみます。

$(2x + b)(x + d) = 2x^2 + (2d + b)x + bd$

$2d + b = 2y - 3$、$bd = -2(2y + 1)$

$d = y + 1$、$b = -2$の場合、

$2(y + 1) - 2 = 2y + 2 - 2 = 2y \neq 2y - 3$

$d = -2$、$b = 2y + 1$の場合、

$2(-2) + 2y + 1 = 2y - 3$

$b = 2y + 1$、$d = -2$のとき、$bd = (2y + 1)(-2) = -4y - 2$なので、これは正しいです。

したがって、因数分解は$(2x + 2y + 1)(x - 2)$となります。

3. 最終的な答え

$(2x + 2y + 1)(x - 2)$