行列 $A, B, C, D$ がそれぞれサイズ $n \times m, m \times r, r \times s, s \times t$ を持つとき、$A(B(CD)), A((BC)D), (AB)(CD), ((AB)C)D, (A(BC))D$ がすべて等しいことを証明する。ただし、3つの行列の積の結合法則は証明なしに用いてよい。

1. 問題の内容

行列 $A, B, C, D$ がそれぞれサイズ $n \times m, m \times r, r \times s, s \times t$ を持つとき、$A(B(CD)), A((BC)D), (AB)(CD), ((AB)C)D, (A(BC))D$ がすべて等しいことを証明する。ただし、3つの行列の積の結合法則は証明なしに用いてよい。

2. 解き方の手順

行列の結合法則 $(XY)Z = X(YZ)$ を繰り返し適用することで、すべての式が等しいことを示す。

まず、$A(B(CD))$ から始める。

行列の積の結合法則より、

$A(B(CD)) = A((BC)D)$

次に、

$A((BC)D) = (A(BC))D$

さらに、

$(A(BC))D = ((AB)C)D$

また、

$((AB)C)D = (AB)(CD)$

以上より、

$A(B(CD)) = A((BC)D) = (A(BC))D = ((AB)C)D = (AB)(CD)$

3. 最終的な答え

したがって、$A(B(CD)), A((BC)D), (AB)(CD), ((AB)C)D, (A(BC))D$ はすべて等しい。