商品Aの費用関数 $f(x)$ は、$x^3$ の係数が1の3次関数である。$f(1) = 2$、$f(2) = 3$ を満たすとする。商品Aの固定費用が1であるとき、$f(x)$ を求めよう。$f(0) = 1$ であるから、$a$、$b$ を定数として、$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ とおく。このとき、$a+b=$ ア、 $2a+b=$ イウが成り立つので、$f(x) = x^3 -$ エ $x^2 -$ オ $x + 1$ である。

1. 問題の内容

商品Aの費用関数 $f(x)$ は、$x^3$ の係数が1の3次関数である。$f(1) = 2$、$f(2) = 3$ を満たすとする。商品Aの固定費用が1であるとき、$f(x)$ を求めよう。$f(0) = 1$ であるから、$a$、$b$ を定数として、$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ とおく。このとき、$a+b=$ ア、 $2a+b=$ イウが成り立つので、$f(x) = x^3 -$ エ $x^2 -$ オ $x + 1$ である。

2. 解き方の手順

まず、$f(1) = 2$ と $f(2) = 3$ を $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ に代入する。

$f(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + 1 = 1 + a + b + 1 = a + b + 2 = 2$

よって、$a + b = 0$

$f(2) = 2^3 + a(2)^2 + b(2) + 1 = 8 + 4a + 2b + 1 = 4a + 2b + 9 = 3$

よって、$4a + 2b = -6$。両辺を2で割ると、$2a + b = -3$

したがって、アには 0 が入り、イウには -3 が入る。

次に、$a+b = 0$ と $2a+b = -3$ の連立方程式を解く。

$2a + b = -3$ から $a+b=0$ を引くと、

$(2a + b) - (a + b) = -3 - 0$

$a = -3$

$a+b=0$ に $a=-3$ を代入すると、

$-3 + b = 0$

$b = 3$

よって、$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$

したがって、エには 3 が入り、オには 3 が入る。

3. 最終的な答え

ア: 0

イウ: -3

エ: 3

オ: 3

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1$