$\sqrt{x^2-10x+25} + \sqrt{x^2+4x+4}$ を $x$ の多項式で表せ。

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2-10x+25} + \sqrt{x^2+4x+4}$ を $x$ の多項式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を因数分解します。

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

したがって、与えられた式は

$\sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+2)^2}$

となります。

ここで、$\sqrt{a^2} = |a|$ であることを用いると、

$|x-5| + |x+2|$

となります。

絶対値記号を外すためには、$x$ の値の範囲によって場合分けを行います。

(i) $x < -2$ のとき、

$x - 5 < 0$ かつ $x + 2 < 0$ であるから、

$|x-5| = -(x-5) = -x + 5$

$|x+2| = -(x+2) = -x - 2$

よって、$-x + 5 + (-x - 2) = -2x + 3$

(ii) $-2 \le x < 5$ のとき、

$x - 5 < 0$ かつ $x + 2 \ge 0$ であるから、

$|x-5| = -(x-5) = -x + 5$

$|x+2| = x+2$

よって、$-x + 5 + x + 2 = 7$

(iii) $5 \le x$ のとき、

$x - 5 \ge 0$ かつ $x + 2 > 0$ であるから、

$|x-5| = x-5$

$|x+2| = x+2$

よって、$x - 5 + x + 2 = 2x - 3$

したがって、

$x < -2$ のとき、$-2x+3$

$-2 \le x < 5$ のとき、$7$

$5 \le x$ のとき、$2x-3$

3. 最終的な答え

$x < -2$ のとき、$-2x+3$

$-2 \le x < 5$ のとき、$7$

$5 \le x$ のとき、$2x-3$