与えられた連立一次方程式 $x_1 - x_3 = 2$ $3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12$ $2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7$ の解の存在を、拡大係数行列に掃き出し法を適用することで調べ、もし解が存在するならば、その解を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$x_1 - x_3 = 2$

$3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12$

$2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7$

の解の存在を、拡大係数行列に掃き出し法を適用することで調べ、もし解が存在するならば、その解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表現する。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

3 & 3 & 1 & 2 & | & 12 \\

2 & 1 & -2 & 1 & | & 7

\end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて簡約化する。

2行目から1行目の3倍を引く(2行目 = 2行目 - 3 * 1行目)。

3行目から1行目の2倍を引く(3行目 = 3行目 - 2 * 1行目)。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 3 & 4 & 2 & | & 6 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3

\end{pmatrix}$

2行目を3で割る(2行目 = 2行目 / 3)。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 4/3 & 2/3 & | & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3

\end{pmatrix}$

3行目から2行目を引く(3行目 = 3行目 - 2行目)。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 4/3 & 2/3 & | & 2 \\

0 & 0 & -4/3 & 1/3 & | & 1

\end{pmatrix}$

3行目に-3/4をかける(3行目 = 3行目 * (-3/4))

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\

0 & 1 & 4/3 & 2/3 & | & 2 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & | & -3/4

\end{pmatrix}$

1行目に3行目を足す(1行目 = 1行目 + 3行目)。

2行目から3行目の4/3倍を引く(2行目 = 2行目 - (4/3) * 3行目)。

$\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & -1/4 & | & 5/4 \\

0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & | & -3/4

\end{pmatrix}$

この行列は以下の式を表す

$x_1 - \frac{1}{4}x_4 = \frac{5}{4}$

$x_2 + x_4 = 3$

$x_3 - \frac{1}{4}x_4 = -\frac{3}{4}$

したがって、$x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}t$

$x_2 = 3 - t$

$x_3 = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4}t$

3. 最終的な答え

$x_1 = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}t$

$x_2 = 3 - t$

$x_3 = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4}t$

$x_4 = t$

(tは任意の実数)