与えられた式 $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を簡約化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を簡約化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$= \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

次に、分子と分母を展開します。

分子: $(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 5 + 3 + 2 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} = 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}$

分母: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに分母の有理化を行うために $3 - \sqrt{15}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}} \times \frac{3 - \sqrt{15}}{3 - \sqrt{15}} = \frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{9 - 15} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{-6}$

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$, $\sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10}$

$= \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{-6} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{6}}{3}$