$x, y, z$を実数とするとき、以下の命題を証明する。 (1) $x+y+z=0$ かつ $xy+yz+zx=0$ ならば、$x, y, z$はすべて0である。 (2) $x+y+z=0$ かつ $x^3+y^3+z^3=0$ ならば、$x, y, z$のうち少なくとも1つは0である。

1. 問題の内容

$x, y, z$を実数とするとき、以下の命題を証明する。

(1) $x+y+z=0$ かつ $xy+yz+zx=0$ ならば、$x, y, z$はすべて0である。

(2) $x+y+z=0$ かつ $x^3+y^3+z^3=0$ ならば、$x, y, z$のうち少なくとも1つは0である。

2. 解き方の手順

(1)

$x+y+z=0$ より、 $z = -(x+y)$ となる。これを $xy+yz+zx=0$ に代入すると、

$xy + y(-(x+y)) + x(-(x+y)) = 0$

$xy - xy - y^2 - x^2 - xy = 0$

$-x^2 - xy - y^2 = 0$

$x^2 + xy + y^2 = 0$

両辺に2をかけると、$2x^2 + 2xy + 2y^2 = 0$。

これは $x^2 + y^2 + (x+y)^2 = 0$ と変形できる。

$x, y$ は実数なので、$x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, $(x+y)^2 \geq 0$ である。

したがって、$x^2 = 0$, $y^2 = 0$, $(x+y)^2 = 0$ でなければならない。

よって、$x=0$ かつ $y=0$ である。

$z = -(x+y) = -(0+0) = 0$ より、$z=0$。

したがって、$x=y=z=0$。

(2)

$x+y+z=0$ より、$z = -(x+y)$ となる。これを $x^3+y^3+z^3=0$ に代入すると、

$x^3 + y^3 + (-x-y)^3 = 0$

$x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = 0$

$x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3 = 0$

$-3x^2y - 3xy^2 = 0$

$-3xy(x+y) = 0$

$3xy(x+y) = 0$

したがって、$x=0$ または $y=0$ または $x+y=0$ である。

$x=0$ のとき、題意は満たされる。

$y=0$ のとき、題意は満たされる。

$x+y=0$ のとき、$z = -(x+y) = 0$ より、$z=0$ となり、題意は満たされる。

したがって、$x, y, z$ のうち少なくとも1つは0である。

3. 最終的な答え

(1) $x, y, z$ はすべて0である。

(2) $x, y, z$ のうち少なくとも1つは0である。