与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$2x^2 + (5y+4)x + (2y^2-y-6)$

次に、$2y^2-y-6$を因数分解します。

$2y^2 - y - 6 = (2y+3)(y-2)$

与えられた式を因数分解した形の$(ax+by+c)(dx+ey+f)$で表せるものとします。$x^2$の係数から、$a$と$d$は、$2x^2$となるように2と1、または1と2であると考えられます。$y^2$の係数から、$b$と$e$は、$2y^2$となるように2と1、または1と2であると考えられます。

また、定数項$c$と$f$は、-6になるように注意して定めます。

$(2y+3)(y-2)$を利用して因数分解できるか試します。

$(2x+y+3)(x+2y-2)$を展開すると、

$2x^2 + 4xy - 4x + xy + 2y^2 - 2y + 3x + 6y - 6$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + 4y - 6$

これは元の式と合いません。

$(x+2y+3)(2x+y-2)$を展開すると、

$2x^2 + xy - 2x + 4xy + 2y^2 - 4y + 6x + 3y - 6$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$

これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x+2y+3)(2x+y-2)$