与えられた指数方程式 $4^x + 2^{x+1} - 8 - 16 \cdot 2^{-x} = 0$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $4^x + 2^{x+1} - 8 - 16 \cdot 2^{-x} = 0$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$

したがって、方程式は次のようになります。

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 8 - 16 \cdot \frac{1}{2^x} = 0$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ であり、方程式は次のようになります。

$t^2 + 2t - 8 - \frac{16}{t} = 0$

両辺に $t$ を掛けると：

$t^3 + 2t^2 - 8t - 16 = 0$

この三次方程式を解きます。左辺を因数分解すると：

$t^2(t + 2) - 8(t + 2) = 0$

$(t^2 - 8)(t + 2) = 0$

$(t - 2\sqrt{2})(t + 2\sqrt{2})(t + 2) = 0$

$t>0$ より、$t+2\sqrt{2} > 0$ かつ $t+2>0$ なので、解は $t = 2\sqrt{2}$ のみです。

$t = 2^x$ なので、$2^x = 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$

したがって、$x = \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}$