与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 + 4x^2 + 16$ (2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ (3) $4x^4 + 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 + 4x^2 + 16$

(2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$

(3) $4x^4 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 4x^2 + 16$

この式は、$(x^2+4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ に近い形をしています。

$x^4 + 4x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2 = (x^2+4)^2 - (2x)^2$ と変形できます。

これは平方の差なので、$(A^2-B^2) = (A+B)(A-B)$ の公式を使って因数分解できます。

$(x^2+4)^2 - (2x)^2 = (x^2+4+2x)(x^2+4-2x) = (x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$

この式は、$(x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ に近い形をしています。

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - (3xy)^2$ と変形できます。

これも平方の差なので、$(A^2-B^2) = (A+B)(A-B)$ の公式を使って因数分解できます。

$(x^2+y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2+y^2+3xy)(x^2+y^2-3xy) = (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)$

(3) $4x^4 + 1$

この式は、$(2x^2+1)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 1$ に近い形をしています。

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2 = (2x^2+1)^2 - (2x)^2$ と変形できます。

これも平方の差なので、$(A^2-B^2) = (A+B)(A-B)$ の公式を使って因数分解できます。

$(2x^2+1)^2 - (2x)^2 = (2x^2+1+2x)(2x^2+1-2x) = (2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$

(2) $(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)$

(3) $(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$