関数 $y = x^2 + 6x + 5$ について、$a \le x \le a+2$ の範囲における最小値を求めよ。ここで、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 6x + 5$ について、$a \le x \le a+2$ の範囲における最小値を求めよ。ここで、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$

よって、頂点の座標は $(-3, -4)$ である。軸は $x = -3$ である。

次に、$a \le x \le a+2$ の範囲と軸 $x = -3$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $a+2 < -3$ のとき、すなわち $a < -5$ のとき

区間 $a \le x \le a+2$ は軸よりも右側にある。このとき、最小値は $x = a+2$ のときに取る。

最小値は、

$y = (a+2)^2 + 6(a+2) + 5 = a^2 + 4a + 4 + 6a + 12 + 5 = a^2 + 10a + 21$

(ii) $a \le -3 \le a+2$ のとき、すなわち $-5 \le a \le -3$ のとき

区間 $a \le x \le a+2$ が軸を含む。このとき、最小値は頂点 $x = -3$ のときに取る。

最小値は $y = -4$

(iii) $a > -3$ のとき

区間 $a \le x \le a+2$ は軸よりも左側にある。このとき、最小値は $x = a$ のときに取る。

最小値は、

$y = a^2 + 6a + 5$

以上をまとめると、

- $a < -5$ のとき、最小値は $a^2 + 10a + 21$

- $-5 \le a \le -3$ のとき、最小値は $-4$

- $a > -3$ のとき、最小値は $a^2 + 6a + 5$

3. 最終的な答え

- $a < -5$ のとき、$a^2 + 10a + 21$

- $-5 \le a \le -3$ のとき、$-4$

- $a > -3$ のとき、$a^2 + 6a + 5$