関数 $y = x^2 - 4x + 3$ において、区間 $a \leq x \leq a+1$ での最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + 3$ において、区間 $a \leq x \leq a+1$ での最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$

この放物線の頂点は $(2, -1)$ です。軸は $x = 2$ です。

区間 $a \leq x \leq a+1$ における最大値を考えます。

場合分けをします。

(1) $a+1 < 2$、すなわち $a < 1$ のとき

区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x$ が増加すると、$y$ は減少するので、最大値は $x=a$ のときにとります。

最大値は

$y = a^2 - 4a + 3$

(2) $a \leq 2 \leq a+1$、すなわち $1 \leq a \leq 2$ のとき

$x=a$ と $x=a+1$ のどちらが軸から遠いかを考えます。

軸 $x=2$ からの距離は、それぞれ $|a-2|$ と $|a+1-2| = |a-1|$ です。

$1 \leq a \leq 2$ のとき、 $|a-2| = 2-a$ かつ $|a-1| = a-1$ です。

$2-a$ と $a-1$ の大小を比較します。

$2-a = a-1$ となるのは $2a = 3$、つまり $a = \frac{3}{2}$ のときです。

(i) $1 \leq a < \frac{3}{2}$ のとき

$2 - a > a - 1$ より、$x=a$ の方が軸から遠いので、最大値は $x=a$ のときにとります。

最大値は

$y = a^2 - 4a + 3$

(ii) $a = \frac{3}{2}$ のとき

$2 - a = a - 1$ より、$x=a$ と $x=a+1$ は軸から同じ距離にあるので、$x=a$ のときも $x=a+1$ のときも最大値は同じです。

最大値は

$y = a^2 - 4a + 3 = (\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 3 = \frac{9}{4} - 6 + 3 = \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4}$

(iii) $\frac{3}{2} < a \leq 2$ のとき

$2 - a < a - 1$ より、$x=a+1$ の方が軸から遠いので、最大値は $x=a+1$ のときにとります。

最大値は

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 3 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 3 = a^2 - 2a$

(3) $a > 2$ のとき

区間 $a \leq x \leq a+1$ で $x$ が増加すると、$y$ も増加するので、最大値は $x=a+1$ のときにとります。

最大値は

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 3 = a^2 - 2a$

まとめると、

$a < 1$ または $1 \leq a < \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 3$

$a = \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $-\frac{3}{4}$

$\frac{3}{2} < a \leq 2$ または $a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a$

$a < \frac{3}{2}$ のとき $a^2 - 4a + 3$

$a \geq \frac{3}{2}$ のとき $a^2 - 2a$

3. 最終的な答え

$a < \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 4a + 3$

$a \geq \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 2a$