正の定数 $a$ を持ち、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$0 \leq x \leq 5$）の最大値が15、最小値が-3であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ を持ち、関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ （$0 \leq x \leq 5$）の最大値が15、最小値が-3であるとき、定数 $a$、$b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 - 4ax + b = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

この式から、軸は $x = 2$ であることがわかります。

$0 \leq x \leq 5$ の範囲で、軸 $x = 2$ が定義域に含まれています。

$a > 0$ であるため、グラフは下に凸の放物線となり、軸で最小値を持ちます。したがって、最小値は $x = 2$ のときに発生します。

$x = 2$ のとき $y = -4a + b = -3$

次に、最大値を考えます。定義域の端点は $x = 0$ と $x = 5$ です。

軸から最も遠いのは $x = 5$ です。

$x = 0$ のとき $y = a(0)^2 - 4a(0) + b = b$

$x = 5$ のとき $y = a(5)^2 - 4a(5) + b = 25a - 20a + b = 5a + b$

したがって、$x = 5$ で最大値をとるので、$5a + b = 15$

これで2つの式が得られました。

1. $-4a + b = -3$

2. $5a + b = 15$

2 - 1より、

$(5a + b) - (-4a + b) = 15 - (-3)$

$9a = 18$

$a = 2$

$a = 2$ を $-4a + b = -3$ に代入すると、

$-4(2) + b = -3$

$-8 + b = -3$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 5$