(3) 2次関数 $y = x^2 + 4x - 3$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = x^2 - 2x + 4$ になる。$p$ と $q$ の値を求めよ。 (4) 2次関数 $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = x^2 - 6x - 11$ のグラフになる。$p$ と $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 2次関数 $y = x^2 + 4x - 3$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = x^2 - 2x + 4$ になる。$p$ と $q$ の値を求めよ。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 4x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = x^2 - 6x - 11$ のグラフになる。$p$ と $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、それぞれの2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 4x - 3 = (x + 2)^2 - 4 - 3 = (x + 2)^2 - 7$

$y = x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

$y = x^2 + 4x - 3$ の頂点は $(-2, -7)$ であり、$y = x^2 - 2x + 4$ の頂点は $(1, 3)$ である。

頂点が $(-2, -7)$ から $(1, 3)$ へ移動したことから、

$x$ 軸方向に $1 - (-2) = 3$, $y$ 軸方向に $3 - (-7) = 10$ 平行移動したことがわかる。

したがって、$p = 3$, $q = 10$ である。

(4)

まず、それぞれの2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3$

$y = x^2 - 6x - 11 = (x - 3)^2 - 9 - 11 = (x - 3)^2 - 20$

$y = x^2 + 4x + 1$ の頂点は $(-2, -3)$ であり、$y = x^2 - 6x - 11$ の頂点は $(3, -20)$ である。

頂点が $(-2, -3)$ から $(3, -20)$ へ移動したことから、

$x$ 軸方向に $3 - (-2) = 5$, $y$ 軸方向に $-20 - (-3) = -17$ 平行移動したことがわかる。

したがって、$p = 5$, $q = -17$ である。

3. 最終的な答え

(3) $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $10$

(4) $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-17$