次の5つの式を因数分解してください。 (1) $6xy - 8x - 3y + 4$ (2) $8x^2 + 6xy - 9y^2$ (3) $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$ (4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$ (5) $(2x+y)(2x-y) - 2y - 1$

1. 問題の内容

次の5つの式を因数分解してください。

(1) $6xy - 8x - 3y + 4$

(2) $8x^2 + 6xy - 9y^2$

(3) $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$

(4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

(5) $(2x+y)(2x-y) - 2y - 1$

2. 解き方の手順

(1) $6xy - 8x - 3y + 4$

まず、共通因数でくくってみます。

$2x(3y - 4) - (3y - 4)$

$(2x - 1)(3y - 4)$

(2) $8x^2 + 6xy - 9y^2$

これは $x$ と $y$ の2次式なので、たすき掛けを利用します。

$(4x - 3y)(2x + 3y)$

(3) $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$

$x^2 + x = A$ とおくと、

$A^2 - 8A + 12$

$(A - 2)(A - 6)$

$(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 6)$

$(x + 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)$

(4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

$a$ について整理すると、

$a(b^2 - c^2) - bc(b + c)$

$a(b + c)(b - c) - bc(b + c)$

$(b + c)[a(b - c) - bc]$

$(b + c)(ab - ac - bc)$

(5) $(2x+y)(2x-y) - 2y - 1$

まず展開します。

$4x^2 - y^2 - 2y - 1$

$4x^2 - (y^2 + 2y + 1)$

$4x^2 - (y + 1)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、

$(2x + (y + 1))(2x - (y + 1))$

$(2x + y + 1)(2x - y - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 1)(3y - 4)$

(2) $(4x - 3y)(2x + 3y)$

(3) $(x + 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)$

(4) $(b + c)(ab - ac - bc)$

(5) $(2x + y + 1)(2x - y - 1)$