与えられた式 $(11^3 + 3 \times 11^2 + 14^3 - 3 \times 14^2) \div (20^2 - 6^2)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(11^3 + 3 \times 11^2 + 14^3 - 3 \times 14^2) \div (20^2 - 6^2)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を以下のように変形する。

$11^3 + 3 \times 11^2 + 14^3 - 3 \times 14^2 = 11^3 + 3 \times 11^2 + 3 \times 11 \times 1 + 1^3 + 14^3 - 3 \times 14^2 - 3 \times 14 \times 1 - 1^3$

ここで、 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を利用するために、

$(11 + 1)^3 - 3 \times 11 + 1 + (14 + (-1))^3 - 3 \times 14 - 1$.

この式は $(11 + 1)^3 - 14^3 = 12^3 + 14^3 - 3 \times 14^2 - 3 \times 14$。

次に、 $11^3 + 3 \times 11^2$ と $14^3 - 3 \times 14^2$ をそれぞれ $(11^2)(11+3)$と $(14^2)(14-3)$と考える。

したがって,

$11^3 + 3 \times 11^2 + 14^3 - 3 \times 14^2 = 11^2(11+3) + 14^2(14-3) = 11^2(14) + 14^2(11)$

$= 121 \times 14 + 196 \times 11 = 1694 + 2156 = 3850$

また、$20^2 - 6^2 = (20+6)(20-6) = 26 \times 14 = 364$

したがって、

$(11^3 + 3 \times 11^2 + 14^3 - 3 \times 14^2) \div (20^2 - 6^2) = 3850 \div 364 = \frac{3850}{364}$

$=\frac{1925}{182} = \frac{275}{26} = \frac{25 \times 11}{2 \times 13}$

この式は、 $(a+1)^3 + (a-1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + a^3 - 3a^2 + 3a - 1 = 2a^3 + 6a$。

問題の式は、$11^3 + 3(11)^2 + 14^3 - 3(14)^2 = 11^2(11 + 3) + 14^2(14-3) = 11^2(14) + 14^2(11) = 14(11^2 + 14(11)) = 14(121 + 154) = 14(275) = 3850$。

また、$20^2 - 6^2 = (20+6)(20-6) = (26)(14) = 364$。

すると、 $\frac{3850}{364} = \frac{1925}{182} = \frac{275}{26} = \frac{25 \times 11}{2 \times 13} = \frac{275}{26}$。

与えられた式は、

$\frac{11^2(11+3) + 14^2(14-3)}{20^2 - 6^2} = \frac{11^2(14) + 14^2(11)}{(20+6)(20-6)} = \frac{11(14)[11+14]}{26(14)} = \frac{11(25)}{26} = \frac{275}{26}$

3. 最終的な答え

$\frac{275}{26}$