定数 $a$ を用いて表された方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の2つを解きます。 (1) $a^2x = 2ax + a - 2$ (2) $a(x+1) > x + a^2$

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて表された方程式と不等式を解く問題です。具体的には、以下の2つを解きます。

(1) $a^2x = 2ax + a - 2$

(2) $a(x+1) > x + a^2$

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $a^2x = 2ax + a - 2$ を解く。

まず、式を整理して $x$ について解きます。

$a^2x - 2ax = a - 2$

$x(a^2 - 2a) = a - 2$

ここで場合分けをします。

(i) $a^2 - 2a \neq 0$ のとき

$x = \frac{a-2}{a^2-2a} = \frac{a-2}{a(a-2)}$

さらに、$a \neq 2$ のとき $x = \frac{1}{a}$

したがって、$a \neq 0$ かつ $a \neq 2$ のとき、$x = \frac{1}{a}$

(ii) $a^2 - 2a = 0$ のとき

$a(a-2) = 0$ より、$a=0$ または $a=2$

$a = 0$ のとき、与式は $0 = -2$ となり、これは成り立ちません。よって、解なし。

$a = 2$ のとき、与式は $0 = 0$ となり、これは常に成り立ちます。よって、$x$ はすべての実数。

(2) 不等式 $a(x+1) > x + a^2$ を解く。

まず、式を展開して整理します。

$ax + a > x + a^2$

$ax - x > a^2 - a$

$x(a-1) > a(a-1)$

ここで場合分けをします。

(i) $a - 1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき

$x > \frac{a(a-1)}{a-1}$

$x > a$

(ii) $a - 1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき

$x < \frac{a(a-1)}{a-1}$

$x < a$

(iii) $a - 1 = 0$ つまり $a = 1$ のとき

$0 > 0$ となり、これは常に成り立ちません。よって、解なし。

3. 最終的な答え

(1) $a^2x = 2ax + a - 2$

* $a \neq 0$ かつ $a \neq 2$ のとき、$x = \frac{1}{a}$

* $a = 0$ のとき、解なし

* $a = 2$ のとき、$x$ はすべての実数

(2) $a(x+1) > x + a^2$

* $a > 1$ のとき、$x > a$

* $a < 1$ のとき、$x < a$

* $a = 1$ のとき、解なし