与えられた式 $81x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $81x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式は、二乗の公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ を利用して因数分解できます。

まず、$81x^4$ は $(9x^2)^2$ と表せ、$1$ は $1^2$ と表せます。

したがって、$a = 9x^2$、$b = 1$ と考えると、$-2ab = -2(9x^2)(1) = -18x^2$ となり、与えられた式の形と一致します。

よって、与えられた式は $(9x^2 - 1)^2$ と因数分解できます。

次に、$9x^2 - 1$ は、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用してさらに因数分解できます。

$9x^2 = (3x)^2$、$1 = 1^2$ なので、$a = 3x$、$b = 1$ と考えると、$9x^2 - 1 = (3x + 1)(3x - 1)$ となります。

したがって、

$(9x^2 - 1)^2 = ((3x+1)(3x-1))^2 = (3x+1)^2(3x-1)^2$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3x+1)^2(3x-1)^2$