$x + y + z + w = 10$ を満たす1以上の整数解 $(x, y, z, w)$ の組の総数を求めよ。

1. 問題の内容

$x + y + z + w = 10$ を満たす1以上の整数解 $(x, y, z, w)$ の組の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

$x, y, z, w$ は1以上の整数なので、$x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1, w=w'+1$ とおくと、$x', y', z', w'$ は0以上の整数となる。

これを元の式に代入すると、

$(x'+1) + (y'+1) + (z'+1) + (w'+1) = 10$

$x' + y' + z' + w' = 10 - 4 = 6$

となる。

これは、0以上の整数解 $x', y', z', w'$ の組の総数を求める問題に帰着する。

この問題は、6個の区別できないボールを4つの区別できる箱に入れる場合の数と考えることができる。

これは、重複組み合わせの考え方を用いて計算できる。

具体的には、6個のボールと3つの仕切りを並べる方法の数である。

したがって、求める場合の数は、

$_{6+4-1}C_{4-1} = _{9}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

3. 最終的な答え

84