$x^3 + 5x^2 + kx - 8$ が $x+2$ で割り切れるように、定数 $k$ の値を求め、そのときの式を因数分解せよ。

1. 問題の内容

$x^3 + 5x^2 + kx - 8$ が $x+2$ で割り切れるように、定数 $k$ の値を求め、そのときの式を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$x+2$ で割り切れるということは、$x = -2$ を代入すると式が0になるということである。

そこで、$x^3 + 5x^2 + kx - 8$ に $x = -2$ を代入する。

$(-2)^3 + 5(-2)^2 + k(-2) - 8 = 0$

$-8 + 5(4) - 2k - 8 = 0$

$-8 + 20 - 2k - 8 = 0$

$4 - 2k = 0$

$-2k = -4$

$k = 2$

よって、$k = 2$ のとき、$x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ は $x+2$ で割り切れる。

次に、この式を因数分解する。$x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ を $x+2$ で割ると、

$x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x+2)(x^2 + 3x - 4)$

さらに、$x^2 + 3x - 4$ を因数分解すると、

$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$

したがって、$x^3 + 5x^2 + 2x - 8 = (x+2)(x+4)(x-1)$

3. 最終的な答え

$k=2$

$(x+2)(x+4)(x-1)$