$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$を簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$の根号を外すことを考えます。

$11 - 6\sqrt{2}$を$(a - b)^2$の形に変形できると仮定します。

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$なので、$a^2 + b^2 = 11$ かつ $2ab = 6\sqrt{2}$を満たす$a$と$b$を見つけます。

$2ab = 6\sqrt{2}$ より、$ab = 3\sqrt{2}$となります。

$a^2 + b^2 = 11$ かつ $ab = 3\sqrt{2}$を満たす$a$と$b$を考えます。

$a = 3$, $b = \sqrt{2}$ とすると、$a^2 = 9$, $b^2 = 2$となり、$a^2 + b^2 = 9 + 2 = 11$を満たします。

したがって、

$11 - 6\sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = (3 - \sqrt{2})^2$

となります。

$\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$

$3 > \sqrt{2}$なので、$|3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{2}$