与えられた式 $4x^2 + 7xy + 4y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + 7xy + 4y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は因数分解できないことを示します。もし因数分解できるなら、$(ax + by)(cx + dy)$の形になるはずです。展開すると、

$$(ax + by)(cx + dy) = acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$$

係数を比較すると、

\begin{align*}

ac &= 4 \\

ad + bc &= 7 \\

bd &= 4

\end{align*}

$ac = 4$と$bd = 4$を満たす整数解は限られています。例えば、$a=1, c=4, b=1, d=4$の場合、$ad+bc = 4+4 = 8 \neq 7$。また、$a=2, c=2, b=2, d=2$の場合、$ad+bc = 4+4 = 8 \neq 7$。他の整数解の組み合わせを試しても、$ad+bc=7$を満たすことはできません。したがって、この式は整数係数で因数分解できません。

しかし、問題文に式を因数分解せよと書かれているので、何かを見落としているかもしれません。与えられた式をよく見ると、完全平方式に近い形をしています。$(2x+2y)^2 = 4x^2+8xy+4y^2$です。この式との差は$xy$だけです。つまり、$4x^2 + 7xy + 4y^2$は$(2x+2y)^2 - xy$ではありません。

式が単純な形に因数分解できない場合、二次方程式として考えて解の公式を適用できるかもしれません。しかし、この場合は因数分解を求められているので、それは適切ではありません。

判別式を計算してみましょう。もし、$4x^2 + 7xy + 4y^2 = 0$とすると、$x$について解くと、

$$x = \frac{-7y \pm \sqrt{(7y)^2 - 4(4)(4y^2)}}{2(4)} = \frac{-7y \pm \sqrt{49y^2 - 64y^2}}{8} = \frac{-7y \pm \sqrt{-15y^2}}{8}$$

判別式は負なので、$x$は実数解を持ちません。つまり、実数係数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

因数分解できません。