$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて、一般項を求める。

$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \left(\frac{x}{2}\right)^{10-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k$

一般項は

${}_{10}C_k \left(\frac{x}{2}\right)^{10-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} x^{10-k} (-1)^k x^{-k} = {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} (-1)^k x^{10-2k}$

$x^2$ の係数を求めるので、 $x^{10-2k} = x^2$ となる $k$ を求める。

$10 - 2k = 2$

$2k = 8$

$k = 4$

したがって、$x^2$ の項は

${}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4} (-1)^4 x^2 = {}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^6 x^2$

係数は ${}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^6$ である。

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

$\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$

係数は

$210 \times \frac{1}{64} = \frac{210}{64} = \frac{105}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{105}{32}$