$x + y + z = 6$ を満たす $0$ 以上の整数解 $(x, y, z)$ の組の総数を求める。

1. 問題の内容

$x + y + z = 6$ を満たす $0$ 以上の整数解 $(x, y, z)$ の組の総数を求める。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組合せの問題として考えることができます。

$x, y, z$ は $0$ 以上の整数なので、$x, y, z$ の和が $6$ になるような組み合わせの数を求めます。

これは、6個の区別できない玉を3つの区別できる箱に入れる場合の数と考えることができます。

重複組合せの公式を用いると、$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ重複組合せの総数は $H(n, r) = \binom{n+r-1}{r}$ で表されます。

この問題では、$n = 3$（変数の数）と $r = 6$（和の値）なので、

$H(3, 6) = \binom{3+6-1}{6} = \binom{8}{6}$ となります。

$\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. 最終的な答え

28