与えられた2つの行列が直交行列であることを示す問題です。行列が直交行列であるとは、その行列の転置行列が逆行列と等しい、つまり $A^T A = A A^T = I$ (Iは単位行列) が成り立つことを意味します。言い換えれば、行列の各列ベクトルが互いに直交し、かつノルムが1である必要があります。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列が直交行列であることを示す問題です。行列が直交行列であるとは、その行列の転置行列が逆行列と等しい、つまり $A^T A = A A^T = I$ (Iは単位行列) が成り立つことを意味します。言い換えれば、行列の各列ベクトルが互いに直交し、かつノルムが1である必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列を$A$とします。

$ A = \begin{bmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\

\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\

-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}

\end{bmatrix} $

$A^T A$を計算します。

$ A^T A = \begin{bmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\

0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\

\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}}

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}

\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\

\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\

-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}

\end{bmatrix} $

$ = \begin{bmatrix}

\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{18}} - \frac{1}{\sqrt{18}} - \frac{1}{\sqrt{18}} \\

0 + \frac{1}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & 0 - \frac{1}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{12}} \\

\frac{2}{\sqrt{18}} - \frac{1}{\sqrt{18}} - \frac{1}{\sqrt{18}} & 0 - \frac{1}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{4}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}

\end{bmatrix} $

$ = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix} = I$

$AA^T$を計算しても単位行列になるので、$A$は直交行列です。

(2)

与えられた行列を$B$とします。

$ B = \begin{bmatrix}

\cos \phi & -\sin \phi & 0 \\

\cos \theta \sin \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \theta \\

\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & \cos \theta

\end{bmatrix} $

$B^T B$を計算します。

$ B^T B = \begin{bmatrix}

\cos \phi & \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi \\

-\sin \phi & \cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi \\

0 & -\sin \theta & \cos \theta

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}

\cos \phi & -\sin \phi & 0 \\

\cos \theta \sin \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \theta \\

\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & \cos \theta

\end{bmatrix} $

$ = \begin{bmatrix}

\cos^2 \phi + \cos^2 \theta \sin^2 \phi + \sin^2 \theta \sin^2 \phi & -\cos \phi \sin \phi + \cos \theta \sin \phi \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi \sin \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi \sin \theta + \sin \theta \sin \phi \cos \theta \\

-\sin \phi \cos \phi + \cos \theta \cos \phi \cos \theta \sin \phi + \sin \theta \cos \phi \sin \theta \sin \phi & \sin^2 \phi + \cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \theta \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \theta \sin \theta + \sin \theta \cos \phi \cos \theta \\

-\sin \theta \cos \theta \sin \phi + \cos \theta \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \theta \cos \phi & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta

\end{bmatrix} $

$ = \begin{bmatrix}

\cos^2 \phi + \sin^2 \phi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) & -\sin \phi \cos \phi + \sin \phi \cos \phi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) & 0 \\

-\sin \phi \cos \phi + \cos \phi \sin \phi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) & \sin^2 \phi + \cos^2 \phi (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix} $

$ = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix} = I$

$BB^T$を計算しても単位行列になるので、$B$は直交行列です。

3. 最終的な答え

(1) の行列は直交行列である。

(2) の行列は直交行列である。