与えられた数式を計算する問題です。具体的には、(1), (2), (3), (4), (5)の5つの小問があり、それぞれ根号を含む式の計算、分数の計算、有理化などを行います。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。具体的には、(1), (2), (3), (4), (5)の5つの小問があり、それぞれ根号を含む式の計算、分数の計算、有理化などを行います。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$, $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2\sqrt{5}} - \frac{1}{3\sqrt{5}} = \frac{6 - 3 - 2}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{30}$

(2) $\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。分母・分子に$\sqrt{5} + \sqrt{2}$をかけます。

$\frac{(2\sqrt{5} - 5\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{2 \times 5 + 2\sqrt{10} - 5\sqrt{10} - 5 \times 2}{5 - 2} = \frac{10 - 3\sqrt{10} - 10}{3} = \frac{-3\sqrt{10}}{3} = -\sqrt{10}$

(3) $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

分母の有理化を行います。分母・分子に$2\sqrt{3} + \sqrt{2}$をかけます。

$\frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2 \times 3 + \sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2 \times 2}{4 \times 3 - 2} = \frac{6 + 5\sqrt{6} + 4}{12 - 2} = \frac{10 + 5\sqrt{6}}{10} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1} - \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 3}$

$\frac{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 3)} - \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{5 - 6\sqrt{5} + 9}{5 - 2\sqrt{5} - 3} - \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 2\sqrt{5} - 3} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{5}} - \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{5}} = \frac{14 - 6\sqrt{5} - 6 - 2\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{5}} = \frac{8 - 8\sqrt{5}}{2 - 2\sqrt{5}} = \frac{8(1 - \sqrt{5})}{2(1 - \sqrt{5})} = 4$

(5) $\frac{1}{1 - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

それぞれの分母を有理化します。

$\frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 - 3} + \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = -(1 + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 2) = -1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}}{30}$

(2) $-\sqrt{10}$

(3) $\frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

(4) $4$

(5) $-3$