二次関数 $y = -2x^2 + 4ax + a^2 + 1$ (定義域: $0 \le x \le 2$) において、$x=0$ で最大値をとるような定数 $a$ の値を、与えられた選択肢の中からすべて選ぶ問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 + 4ax + a^2 + 1$ (定義域: $0 \le x \le 2$) において、$x=0$ で最大値をとるような定数 $a$ の値を、与えられた選択肢の中からすべて選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4ax + a^2 + 1 = -2(x^2 - 2ax) + a^2 + 1 = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + a^2 + 1 = -2(x-a)^2 + 2a^2 + a^2 + 1 = -2(x-a)^2 + 3a^2 + 1$

したがって、この二次関数の頂点の座標は $(a, 3a^2 + 1)$ です。

このグラフは上に凸な放物線です。

$x=0$ で最大値をとるためには、頂点の $x$ 座標である $a$ が、定義域 $0 \le x \le 2$ に対して $a \ge 2$ を満たすか、$a \le 0$を満たす必要があります。

（放物線の軸が定義域の外側にある場合）

または、定義域の中にある場合、$f(0) > f(2)$を満たす必要があります。

選択肢を確認します。

ア. $a = -\frac{2}{3}$

イ. $a = \frac{1}{3}$

ウ. $a = \frac{4}{3}$

エ. $a = \frac{7}{3}$

ア: $a = -\frac{2}{3}$ のとき、定義域の外側に軸があるので、$x=0$か$x=2$で最大値をとります。

$f(0) = a^2+1 = (-\frac{2}{3})^2 + 1 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}$

$f(2) = -2(2)^2 + 4(-\frac{2}{3})(2) + (-\frac{2}{3})^2 + 1 = -8 - \frac{16}{3} + \frac{4}{9} + 1 = -7 - \frac{16}{3} + \frac{4}{9} = -7 - \frac{48}{9} + \frac{4}{9} = -7 - \frac{44}{9} = \frac{-63-44}{9} = \frac{-107}{9}$

$f(0) > f(2)$ なので、$x=0$で最大値をとります。

イ: $a = \frac{1}{3}$ のとき、$0 < a < 2$ なので、$f(0) = a^2+1 = (\frac{1}{3})^2 + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$

$f(2) = -2(2)^2 + 4(\frac{1}{3})(2) + (\frac{1}{3})^2 + 1 = -8 + \frac{8}{3} + \frac{1}{9} + 1 = -7 + \frac{24}{9} + \frac{1}{9} = -7 + \frac{25}{9} = \frac{-63+25}{9} = \frac{-38}{9}$

$f(0) > f(2)$ なので、$x=0$で最大値をとります。

ウ: $a = \frac{4}{3}$ のとき、$0 < a < 2$ なので、$f(0) = a^2+1 = (\frac{4}{3})^2 + 1 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$

$f(2) = -2(2)^2 + 4(\frac{4}{3})(2) + (\frac{4}{3})^2 + 1 = -8 + \frac{32}{3} + \frac{16}{9} + 1 = -7 + \frac{96}{9} + \frac{16}{9} = -7 + \frac{112}{9} = \frac{-63+112}{9} = \frac{49}{9}$

$f(0) < f(2)$ なので、$x=0$で最大値をとりません。

エ: $a = \frac{7}{3}$ のとき、$a > 2$ なので、定義域 $0 \le x \le 2$ において、$x=0$ で最大値をとります。

したがって、$x=0$で最大値をとる $a$ は、ア、イ、エ です。

3. 最終的な答え

ア、イ、エ