与えられた2つの式を展開する問題です。 (1) $(3x+1)(x+2)(3x-1)(x-2)$ (2) $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開する問題です。

(1) $(3x+1)(x+2)(3x-1)(x-2)$

(2) $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$

2. 解き方の手順

(1) $(3x+1)(x+2)(3x-1)(x-2)$ を展開する。

まず、$(3x+1)(3x-1)$と$(x+2)(x-2)$をそれぞれ計算する。

$(3x+1)(3x-1) = (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1$

$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

したがって、

$(3x+1)(x+2)(3x-1)(x-2) = (9x^2 - 1)(x^2 - 4)$

$= 9x^2(x^2 - 4) - 1(x^2 - 4)$

$= 9x^4 - 36x^2 - x^2 + 4$

$= 9x^4 - 37x^2 + 4$

(2) $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開する。

$(x+y+z)(x-y+z) = ((x+z)+y)((x+z)-y) = (x+z)^2 - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

$(x+y-z)(x-y-z) = (x-(z-y))(x+(y-z)) = ((x-z)+y)((x-z)-y) = (x-z)^2 - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

したがって、

$(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z) = (x^2 + 2xz + z^2 - y^2)(x^2 - 2xz + z^2 - y^2)$

$= ((x^2 + z^2 - y^2) + 2xz)((x^2 + z^2 - y^2) - 2xz)$

$= (x^2 + z^2 - y^2)^2 - (2xz)^2$

$= (x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2$

$= (x^2 + z^2)^2 - 2y^2(x^2 + z^2) + y^4 - 4x^2z^2$

$= x^4 + 2x^2z^2 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 + y^4 - 4x^2z^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2x^2z^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

3. 最終的な答え

(1) $9x^4 - 37x^2 + 4$

(2) $x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$