$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{3}{4}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4} - 1$

$2 \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{8}$