与えられた式を計算して、できるだけ簡単な形にすることを求められています。式は次の通りです。 $1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、できるだけ簡単な形にすることを求められています。式は次の通りです。

$1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

2. 解き方の手順

まず、分数の部分を簡略化します。

$3-1 = 2$ なので、

$\frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

与えられた式に代入すると、

$1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$2$が約分できるので、

$1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

分配法則を用いて展開します。

$1 + 3 \cdot 3^{n-1} - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$3^n$でまとめます。

$1 + 3^n - 3 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$1 - 3 + 3^n + 3^n - 2n \cdot 3^n$

$-2 + 2 \cdot 3^n - 2n \cdot 3^n$

$3^n$でまとめます。

$-2 + (2 - 2n) \cdot 3^n$

さらに$2$をくくり出すと

$-2 + 2(1 - n) \cdot 3^n$

3. 最終的な答え

$-2 + 2(1-n)3^n$

もしくは

$2(1-n)3^n - 2$

もしくは

$2(1-n)3^n - 2$