与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ で表されます。

2. 解き方の手順

等差数列と等比数列の積の和の公式を利用します。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $3$ をかけた $3S$ を計算します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$-4S = 3^n - 1 - 2n \cdot 3^n$

$4S = 1 - 3^n + 2n \cdot 3^n$

$4S = 1 + (2n - 1)3^n$

$S = \frac{1 + (2n - 1)3^n}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 + (2n - 1)3^n}{4}$