1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^{100} + \omega^{50}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき、$\omega^{100} + \omega^{50}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は1の3乗根の虚数解の一つなので、$\omega^3 = 1$を満たします。

まず、$\omega^{100}$ を簡単にします。

$\omega^{100} = \omega^{3 \cdot 33 + 1} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega^1 = 1^{33} \cdot \omega = \omega$

次に、$\omega^{50}$ を簡単にします。

$\omega^{50} = \omega^{3 \cdot 16 + 2} = (\omega^3)^{16} \cdot \omega^2 = 1^{16} \cdot \omega^2 = \omega^2$

したがって、

$\omega^{100} + \omega^{50} = \omega + \omega^2$

$\omega$ は $x^3 = 1$ の解なので、$x^3 - 1 = 0$ を満たします。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$

$\omega$ は虚数解なので、$\omega \neq 1$ であり、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解です。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ となります。

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega + \omega^2 = -1$ です。

3. 最終的な答え

$\omega^{100} + \omega^{50} = -1$