2次方程式 $x^2 + 2(3m-1)x + 9m^2 - 4 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(3m-1)x + 9m^2 - 4 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの負の解を持つための条件は以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

(2) 軸 $x = -\frac{b}{2a} < 0$

(3) $f(0) = c > 0$

この問題の場合、$a = 1$, $b = 2(3m-1)$, $c = 9m^2 - 4$ です。

(1) 判別式 $D > 0$ より、

$D = b^2 - 4ac = [2(3m-1)]^2 - 4(1)(9m^2 - 4) > 0$

$4(9m^2 - 6m + 1) - 36m^2 + 16 > 0$

$36m^2 - 24m + 4 - 36m^2 + 16 > 0$

$-24m + 20 > 0$

$-24m > -20$

$m < \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

(2) 軸 $x = -\frac{b}{2a} < 0$ より、

$x = -\frac{2(3m-1)}{2(1)} < 0$

$-(3m-1) < 0$

$3m - 1 > 0$

$3m > 1$

$m > \frac{1}{3}$

(3) $f(0) = c > 0$ より、

$9m^2 - 4 > 0$

$(3m - 2)(3m + 2) > 0$

$3m - 2 > 0$ かつ $3m + 2 > 0$ または $3m - 2 < 0$ かつ $3m + 2 < 0$

$m > \frac{2}{3}$ かつ $m > -\frac{2}{3}$ または $m < \frac{2}{3}$ かつ $m < -\frac{2}{3}$

$m > \frac{2}{3}$ または $m < -\frac{2}{3}$

(1), (2), (3) を満たす $m$ の範囲は、

$\frac{1}{3} < m < \frac{5}{6}$ かつ ($m > \frac{2}{3}$ または $m < -\frac{2}{3}$)

$\frac{2}{3} < m < \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} < m < \frac{5}{6}$