(1) $\alpha = \sqrt{5} + 2$、$\beta = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = x^2 + 2x - 8$ (-4 $\le x \le$ 0) の値域を求めよ。 (3) 放物線 $y = x^2 + 2ax + 2a + 8$ が x 軸と共有点を持つような定数 a の値の範囲を求めよ。 (4) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$、$\angle B = 75^\circ$、$\angle C = 60^\circ$ のとき、$AB$ の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\alpha = \sqrt{5} + 2$、$\beta = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = x^2 + 2x - 8$ (-4 $\le x \le$ 0) の値域を求めよ。

(3) 放物線 $y = x^2 + 2ax + 2a + 8$ が x 軸と共有点を持つような定数 a の値の範囲を求めよ。

(4) $\triangle ABC$ において、$BC = 8$、$\angle B = 75^\circ$、$\angle C = 60^\circ$ のとき、$AB$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を計算する。

$\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2$

$\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

(2) $y = x^2 + 2x - 8$ を平方完成する。

$y = (x + 1)^2 - 9$

軸は $x = -1$ で、これは $-4 \le x \le 0$ の範囲内にある。

$x = -1$ のとき、$y = -9$ (最小値)

$x = -4$ のとき、$y = (-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$

$x = 0$ のとき、$y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$

したがって、$-9 \le y \le 0$

(3) $y = x^2 + 2ax + 2a + 8$ が x 軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (2a)^2 - 4(1)(2a + 8) = 4a^2 - 8a - 32 \ge 0$

$a^2 - 2a - 8 \ge 0$

$(a - 4)(a + 2) \ge 0$

$a \le -2$ または $a \ge 4$

(4) 正弦定理を用いる。$\angle A = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

$\frac{AB}{\sin{60^\circ}} = \frac{BC}{\sin{45^\circ}}$

$AB = \frac{BC \cdot \sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(2) $-9 \le y \le 0$

(3) $a \le -2$, $4 \le a$

(4) $4\sqrt{6}$