$a$ を正の定数とするとき、不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、不等式 $|x-2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を解く。

$|x-2| < a$ は $-a < x-2 < a$ と同値である。

各辺に2を加えると、

$2-a < x < 2+a$

この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するためには、

$x$ が整数であることに注意して、$2+a$と$2-a$の間に整数が５個存在する必要がある。

$x$の整数値を小さい方から並べると、$2-a$より大きい最初の整数が$x_1$, 次の整数が$x_2$となり、５番目の整数が$x_5$とすると、$x_5 < 2+a$となる必要がある。

$x=2$のとき、$|2-2|=0<a$となり、このとき$x=2$は必ず不等式を満たす。

$x=2$のとき、$x=1$と$x=3$は、$|1-2|=1$、$|3-2|=1$より、$1<a$であれば不等式を満たす。

$x=0$と$x=4$は、$|0-2|=2$、$|4-2|=2$より、$2<a$であれば不等式を満たす。

$x=-1$と$x=5$は、$|-1-2|=3$、$|5-2|=3$より、$3<a$であれば不等式を満たす。

整数解が5個であるためには、以下の条件を満たす必要がある。

$2-a$より大きい最初の整数を$n$とすると、整数解は、$n, n+1, n+2, n+3, n+4$の5個となる。そして、$n+4 < 2+a$でなければならない。

$2+a$より小さい最大の整数を$m$とすると、整数解は、$m-4, m-3, m-2, m-1, m$の5個となる。そして、$2-a < m-4$でなければならない。

$x=2$を中心として整数が5個並ぶためには、$x=-1,0,1,2,3,4,5$の中で５つの整数が不等式を満たせば良い。

$x=2$が中心なので、$x$の値を小さい順に並べると、$2-2, 2-1, 2, 2+1, 2+2$のいずれかである必要がある。

このとき、5個の整数解は、$2-2=0, 2-1=1, 2, 2+1=3, 2+2=4$となり、$0,1,2,3,4$となる。

$2-a < 0$ かつ $4 < 2+a$ を満たす必要がある。

$2-a < 0$ より $2 < a$。

$4 < 2+a$ より $2 < a$。

さらに、 $x=-2$または$x=5$の少なくとも一方は、$|x-2|<a$を満たしてはいけない。

$x=-1, 0, 1, 2, 3, 4$ の6つの整数は$|x-2|<a$を満たさない。

$|-2-2|=4<a$ または $|5-2|=3<a$の少なくとも一方が成り立たない。

$a \le 3$

以上より、$2 < a \le 3$は誤り。

$2-a<x<2+a$を満たす整数が5個であるとき、$2+a-(2-a)=2a$の幅の中に5個の整数が入る。

$-a+2 < x < a+2$を満たす整数$x$が5個。

$x=2$を中心として、$1,0,3,4$と$2$が含まれる必要がある。

$x= -1$が含まれないとき、$3 \le a$

$x= 5$が含まれないとき、$3 \le a$

$-1$と$5$が含まれるとき、$4 \le a$

$-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$の中で$x=2$を中心として5個

$a > 0$である必要があるので、$2-a < 2 < 2+a$となる。

$a=3$のとき$-1<x<5$。整数解は$0, 1, 2, 3, 4$の5個。

$a=4$のとき$-2<x<6$。整数解は$-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$の7個。

整数解が5個であるためには、$3<a \le 4$。

3. 最終的な答え

$3 < a \le 4$