与えられた数列 $1\cdot1, 2\cdot5, 3\cdot5^2, \dots, n\cdot5^{n-1}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1\cdot1, 2\cdot5, 3\cdot5^2, \dots, n\cdot5^{n-1}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の和を $S$ とおきます。つまり、

$S = 1\cdot1 + 2\cdot5 + 3\cdot5^2 + \dots + n\cdot5^{n-1}$

この式に5を掛けます。

$5S = 1\cdot5 + 2\cdot5^2 + 3\cdot5^3 + \dots + (n-1)\cdot5^{n-1} + n\cdot5^n$

上の式から下の式を引くと、

$S - 5S = (1\cdot1 + 2\cdot5 + 3\cdot5^2 + \dots + n\cdot5^{n-1}) - (1\cdot5 + 2\cdot5^2 + 3\cdot5^3 + \dots + (n-1)\cdot5^{n-1} + n\cdot5^n)$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} - n\cdot5^n$

$1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1}$ は初項1、公比5、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n\cdot5^n$

$S = -\frac{1}{4}(\frac{5^n - 1}{4} - n\cdot5^n) = \frac{1}{16}(4n\cdot5^n - 5^n + 1) = \frac{(4n-1)5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{(4n-1)5^n + 1}{16}$