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問題は、多項式 $x^2 + 4$ を因数分解することです。

代数学因数分解多項式複素数虚数単位
2025/6/29

1. 問題の内容

問題は、多項式 x2+4x^2 + 4 を因数分解することです。

2. 解き方の手順

与えられた式は、x2+4x^2 + 4 です。
これは、実数の範囲では因数分解できません。
なぜなら、x2x^2 は常に0以上であり、44 も正の数なので、x2+4x^2 + 4 は常に正の値をとるからです。
つまり、x2+4=0x^2 + 4 = 0 となる実数解は存在しません。
しかし、複素数の範囲では因数分解できます。
44 を −4i2-4i^2 と書き換えます。（ただし、ii は虚数単位で、i2=−1i^2 = -1 です。）
すると、x2+4=x2−(−4)=x2−(4i2)=x2−(2i)2x^2 + 4 = x^2 - (-4) = x^2 - (4i^2) = x^2 - (2i)^2 となります。
これは、a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) という因数分解の公式を利用できます。
a=xa = x、b=2ib = 2i とすると、x2−(2i)2=(x−2i)(x+2i)x^2 - (2i)^2 = (x - 2i)(x + 2i) となります。

3. 最終的な答え

(x−2i)(x+2i)(x - 2i)(x + 2i)

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