問題は、$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2$ を展開します。

$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n}(k^2 - 2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n}(k-1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n(n+1) + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 6]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 6n - 6 + 6]}{6}$

$= \frac{n(2n^2 - 3n + 1)}{6}$

$= \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$