一次関数 $f(x) = ax + b$ が与えられた条件を満たすとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = ax + b$ が与えられた条件を満たすとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(1) = -2, f(3) = 4$ の場合：

$f(1) = a(1) + b = a + b = -2$

$f(3) = a(3) + b = 3a + b = 4$

2つの式を連立方程式として解きます。

第2式から第1式を引くと、

$(3a + b) - (a + b) = 4 - (-2)$

$2a = 6$

$a = 3$

$a = 3$ を第1式に代入すると、

$3 + b = -2$

$b = -5$

(2) $f(2) = 2, f(-4) = 14$ の場合：

$f(2) = a(2) + b = 2a + b = 2$

$f(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 14$

2つの式を連立方程式として解きます。

第1式から第2式を引くと、

$(2a + b) - (-4a + b) = 2 - 14$

$6a = -12$

$a = -2$

$a = -2$ を第1式に代入すると、

$2(-2) + b = 2$

$-4 + b = 2$

$b = 6$

(3) $f(-3) = -\frac{1}{4}, f(-1) = \frac{5}{4}$ の場合：

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -\frac{1}{4}$

$f(-1) = a(-1) + b = -a + b = \frac{5}{4}$

2つの式を連立方程式として解きます。

第2式から第1式を引くと、

$(-a + b) - (-3a + b) = \frac{5}{4} - (-\frac{1}{4})$

$2a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$a = \frac{3}{4}$ を第2式に代入すると、

$-\frac{3}{4} + b = \frac{5}{4}$

$b = \frac{8}{4} = 2$

(4) $f(-2) = -\frac{5}{2}, f(-3) = -2$ の場合：

$f(-2) = a(-2) + b = -2a + b = -\frac{5}{2}$

$f(-3) = a(-3) + b = -3a + b = -2$

2つの式を連立方程式として解きます。

第1式から第2式を引くと、

$(-2a + b) - (-3a + b) = -\frac{5}{2} - (-2)$

$a = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$ を第2式に代入すると、

$-3(-\frac{1}{2}) + b = -2$

$\frac{3}{2} + b = -2$

$b = -2 - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = -5$

(2) $a = -2, b = 6$

(3) $a = \frac{3}{4}, b = 2$

(4) $a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{7}{2}$