与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る点の座標が与えられたとき。 (2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る点の座標が与えられたとき。

(2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(-1, 3)$ であることから、求める2次関数は $y = a(x + 1)^2 + 3$ と表せます。

点 $(1, 7)$ を通ることから、 $x = 1$, $y = 7$ を代入して $a$ を求めます。

$7 = a(1 + 1)^2 + 3$

$7 = 4a + 3$

$4a = 4$

$a = 1$

よって、求める2次関数は $y = (x + 1)^2 + 3 = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$

(2) 軸が $x = -2$ であることから、求める2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ と表せます。

点 $(0, 3)$ を通ることから、 $x = 0$, $y = 3$ を代入して $3 = a(0 + 2)^2 + q = 4a + q$ が得られます。

点 $(-1, 0)$ を通ることから、 $x = -1$, $y = 0$ を代入して $0 = a(-1 + 2)^2 + q = a + q$ が得られます。

したがって、次の連立方程式を解けば、$a$ と $q$ が求まります。

$4a + q = 3$

$a + q = 0$

上の式から下の式を引くと $3a = 3$ となり、$a = 1$。

$q = -a$ なので、$q = -1$。

よって、求める2次関数は $y = (x + 2)^2 - 1 = x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 + 4x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 2x + 4$

(2) $y = x^2 + 4x + 3$