与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ (2) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-6)+8x^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

(2) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-6)+8x^2$

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ の因数分解

まず、積の順番を工夫します。

$((x-1)(x-7))((x-3)(x-5))+15$

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

ここで、$X = x^2 - 8x$ と置換します。

$(X+7)(X+15) + 15$

$X^2 + 22X + 105 + 15$

$X^2 + 22X + 120$

$(X+10)(X+12)$

ここで、$X$ を元に戻します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(2) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-6)+8x^2$ の因数分解

まず、積の順番を工夫します。

$((x+1)(x-2))((x+3)(x-6))+8x^2$

$(x^2 - x - 2)(x^2 - 3x - 18) + 8x^2$

ここで、$X = x^2 - x$ と置換します。

$(X - 2)(X - 2x - 18) + 8x^2$

$X^2 - 2xX - 18X - 2X + 4x + 36 + 8x^2$

$(x^2 - x)^2 - 2x(x^2 - x) - 18(x^2 - x) - 2(x^2 - x) + 4x + 36 + 8x^2$

$x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x^3 + 2x^2 - 18x^2 + 18x - 2x^2 + 2x + 4x + 36 + 8x^2$

$x^4 - 4x^3 - 11x^2 + 24x + 36$

式を整理するよりも、別の組み合わせを試します。

$((x+1)(x+3))((x-2)(x-6)) + 8x^2$

$(x^2 + 4x + 3)(x^2 - 8x + 12) + 8x^2$

$x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 4x^3 - 32x^2 + 48x + 3x^2 - 24x + 36 + 8x^2$

$x^4 - 4x^3 - 9x^2 + 24x + 36$

ここで、$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$ の形で表せるか考えます。

$(x^2 + ax + 6)(x^2 + cx + 6)$

$x^4 + cx^3 + 6x^2 + ax^3 + acx^2 + 6ax + 6x^2 + 6cx + 36$

$x^4 + (a+c)x^3 + (12+ac)x^2 + (6a+6c)x + 36$

$a+c = -4$, $12+ac = -9$, $6a+6c = 24$, $ac = -21$

$a+c = -4$, $a c = -21$

$a, c$ は $t^2 + 4t - 21 = 0$ の解である。

$(t+7)(t-3) = 0$

$t = -7, 3$

$a = -7, c = 3$ または $a = 3, c = -7$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 + 3x + 6)$

$(x-1)(x-6)(x^2+3x+6)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(2) $(x-1)(x-6)(x^2+3x+6)$